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关于 “绝对正确” 的科学理论

- 卢昌海 -

科学哲学中的一个基本常识是: 不存在绝对正确的科学理论——不仅是因为只要稍懂科学精神的人, 就不至于幼稚到认为今天的科学理论绝对正确, 而且也因为哪怕有一天我们真的发现了绝对正确的科学理论, 也不会有办法证明它的绝对正确[注一]

既然有这样一个基本常识, 关于绝对正确的科学理论, 照说便没什么可谈的了。

不过, 如果我们把 “绝对正确” 的含义从严格字面意义上稍作弱化, 弱化到类似于法律中 “排除合理怀疑” (beyond reasonable doubt) 的意义上, 这个话题就能谈出一些有意思的东西来。 本文就将在这种弱化的语境下谈论 “绝对正确” 的科学理论。 读者请记住, 在其他科学哲学论述中, “绝对正确” 一词往往是取严格字面意义的, 从而基本上是否定词, 本文赋予的则是不同的语境, 因此勿用本文去反驳其他科学哲学论述, 否则将是指鹿为马。 为降低被断章取义的风险, 虽已作了上述说明, 我们仍将对本文语境下的 “绝对正确” 一词加上引号, 而区别于不加引号的严格字面意义。

在本文的语境下, 我们来谈一些有意思的东西。

让我们用一个类比来引出话题: 大家知道, 某个区间上性质良好的函数 f(x) 可在该区间上作泰勒展开。 在展开式中取前 n 项, 可得到 f(x) 的近似表达式 pn(x), 它与 f(x) 相差一个余项 rn(x)。 如果用 f(x) 代表绝对正确的科学理论, 那么 pn(x) 就好比现实世界里的科学理论, 只是近似的。 另一方面, 对泰勒级数来说, 虽然 pn(x) 只是近似的, 但若把余项 rn(x) 加上, 就绝对正确了。

可惜的是, 这最后一步无法类比到现实世界里——因为绝对正确的科学理论是未知并且永远未知的, 从而不可能知道 “余项”, 也不可能通过添加 “余项” 让近似理论变得绝对正确。

但如果我们退一步, 不奢望知道余项, 而只对余项的大小作出一个绝对正确的估计, 比如 ‖rn(x)‖ ≤ ε(x), 那么就可断言 ‖pn(x) — f(x)‖ ≤ ε(x)。 这个断言虽不具有等号形式——或者说虽不能给出精确结果, 却是绝对正确的, 而且从某种意义上讲, 甚至比等号形式更符合科学理论的预言方式。 因为科学理论的预言从本质上讲, 总是有误差的——余项就对应于误差, 对余项大小的估计则是误差估计[注二]

那么, 我们有没有可能对余项的大小作出绝对正确的估计呢? 从数学上讲, 如果不知道 f(x), 答案恐怕是否定的, 但对现实世界里的科学理论, 在本文的语境下, 却是可能的——我们将试图阐释这一点。 这种可能若得到阐释, 那么相应的科学理论就可被表述为如类比所示的那种虽不具有等号形式, 不能给出精确结果, 却 “绝对正确” 的形式——而本文所谓的 “绝对正确” 的科学理论, 就是指表述为此种形式的科学理论。

作完了类比, 现在让我们转入到对现实世界里的科学理论——确切说是基础物理理论——的讨论[注三]

我们将选牛顿理论 (包括牛顿运动定律和万有引力定律) 为例。 之所以选牛顿理论, 是因为与更现代的基础物理理论相比, 牛顿理论是我们明确知道局限性的理论。 这一方面便于展示如何对理论的误差作出 “绝对正确” 的估计; 另一方面, 则倘若从牛顿理论都可以引申出某种 “绝对正确” 的科学理论, 那么对电磁理论、 相对论、 热力学、 统计力学、 量子力学等等牛顿之后的基础物理理论就更可以。

下面就让我们看看, 能否对牛顿理论的误差作出 “绝对正确” 的估计。

我们知道, 牛顿理论在宏观、 低速及弱引力场的范围内是对相对论 (包括狭义相对论和广义相对论) 的近似, 而它的误差基本上就是它与相对论的偏差。 之所以只说 “基本上”, 是考虑到若精度无限提高, 相对论本身也未必绝对没有误差。 但另一方面, 相对论本身的误差哪怕有, 也显然 (这个 “显然” 可视为 “排除合理怀疑” 一词在本文中的一层具体含义) 小于牛顿理论与相对论的偏差 (否则早被发现了)。 利用这一特点, 只要把——比方说——牛顿理论与相对论的偏差的两倍作为误差估计, 就是对牛顿理论的误差作出了 (“排除合理怀疑” 意义上的) “绝对正确” 的估计[注四]

因此, 对牛顿理论, 我们可以通过限定范围 (即宏观、 低速及弱引力场——皆可量化) 和精度 (即对误差的上述估计) 而将之表述为 “绝对正确” 的科学理论。 牛顿理论如此, 那么如前所述, 牛顿之后的基础物理理论就更是如此。 “绝对正确” 这个科学哲学中的 “敏感词” 在本文的语境下, 并非是对科学理论遥不可及的目标。

以上就是我们要谈的所谓 “一些有意思的东西”, 但它究竟 “有意思” 在哪里, 却尚未明言。 这种换一个语境谈概念的做法, 除当文字游戏外还能有别的意思或意义吗? 答案是肯定的。 不过在叙说之前, 首先要指出的是, 限定范围和精度其实是谈论科学理论时必不可少的严谨, 从这个角度讲本就不是文字游戏。 至于意义, 一个很重要的意义是能让人更好地理解为什么自牛顿时代起, 科学虽有巨大发展, 却不再有基础物理理论被彻底推翻——而且我们几乎可以确定, 像彻底推翻那样的事情对基础物理理论来说, 将永远不会再发生。 这与牛顿之前的时代很不相同。 在牛顿之前的时代, 比如各种古代元素理论, 比如亚里斯多德的诸多理论, 比如笛卡尔的 “漩涡理论”, 等等, 就被彻底推翻了。 自牛顿时代起, 像彻底推翻那样的事情对基础物理理论来说, 之所以没有再发生, 甚至永远不会再发生, 正是因为那些理论可通过限定范围和精度, 而被表述为 “绝对正确” 的科学理论。 这是科学理论发展到一定程度——尤其是数学化到一定程度——才出现的重要特点, 也是它们有别于往昔理论的巨大优点[注五]

接下来, 我们要谈一点跟本文有关的历史。 对于觉得以上视角言之有理的读者, 这点历史只是要告诉大家, 本文的基本思路是有所继承的, 并非笔者的独创, 不敢也不便掠美; 对于觉得 “你算老几呀, 敢妄议 ‘绝对正确’?” 的读者, 则这点历史可算是拿两位 “老大” 来 “狐假虎威”。

最早使我注意到以上视角的, 是美国物理学家温伯格 (Steven Weinberg) 的科学随笔集《Facing Up》 (仰望苍穹)。 在那本随笔集里, 温伯格写了这样一段话:

近似理论不仅仅是近似成立的。 它们可以作出尽管诉诸近似, 却精确成立的陈述。 比如, 尽管麦克斯韦方程组只是对电磁场的近似描述, 但只要所考虑的场足够弱并且变化得足够缓慢, 用麦克斯韦方程组计算这些场的误差就可以要多小就多小, 这一点是精确成立的。 这是麦克斯韦方程组之所以是物理科学的永久成员的部分原因。

这段话是我近年来阅读科学哲学类文字时极少有的在观点上——而非单纯在阅读愉悦上——有所得的文字, 也是本文的缘起。 当然, 我对从近似理论引出 “精确成立的陈述” 的方式作了变更 (否则就不必写本文了), 因为温伯格所述的方式假设了所举的近似理论 (麦克斯韦方程组) 在特定极限 (场足够弱并且变化得足够缓慢) 下趋于精确成立 (“误差就可以要多小就多小”), 这在我看来仍太强。 而本文的表述在我看来既能维持同样的视角, 又不必假设所举的近似理论在特定极限下趋于精确成立, 从而更有把握, 并且适用范围也更广, 不限于特定极限, 而是可在大得多 (虽然仍有限) 的范围内通过限定精度而成立——这才有了 “绝对正确” 的科学理论这一提法。 当然, 这种变更是否达到目的, 也许见仁见智——倘未达到, 甚至弄巧成拙, 文责当然在我, 但若达到, 则我的思路乃是继承温伯格的上述文字。 从这个意义上讲, 本文可视为我读温伯格那本书的一则扩展读书笔记。

温伯格之所以采用以上视角, 有他自己的动因——可作为对上文所述意义的补充, 那便是评论科学哲学家库恩 (Thomas Kuhn) 的观点。 我在昔日读库恩的《The Structure of Scientific Revolutions》 (科学革命的结构) 一书时, 曾经觉得, 库恩笔下的科学家仿佛 “集中营” 里的劳工。 温伯格也指出了库恩对科学家行为的不切实际的教条化描述, 他并且猜测, 库恩是由亚里士多德学说被牛顿理论彻底推翻这一 “科学革命” 中得到启示, 将之僵化地套到牛顿之后科学发展中, 而作出了科学革命前后的科学有不同标准, 互不可比, 一种范式下的科学家无法理解先前范式下的科学, 乃至否认科学进展存在趋向性…… 等等的荒谬结论 (实际上, 自牛顿时代以来, 科学的标准并无显著变化; 牛顿理论与现代物理理论是完全可比的; 现代物理学家完全可以理解牛顿理论; 科学进展的趋向性也非常明显)。 而破除那些荒谬结论的一个很好的视角, 正是温伯格指出的 “近似理论不仅仅是近似成立的。 它们可以作出尽管诉诸近似, 却精确成立的陈述”。 这是自牛顿时代起的基础物理理论有别于往昔理论, 从而使库恩的教条无法套用的根本原因。 温伯格对库恩观点起源的猜测虽只是猜测, 但用上述视角对库恩观点的评论则一针见血, 并且也从一个侧面体现出这一视角的重要性。 同时, 这一视角也有助于破除科学哲学界一度——甚至仍在一定程度上——甚嚣尘上的相对主义论调, 那种论调认为一切科学理论都早晚会被推翻, 并以此为由抬高宗教和伪科学的地位, 或模糊它们与科学的差别。 不理解这一视角, 只注重严格字面意义上的绝对正确与否, 就很可能会只看到 “否”, 看不到牛顿时代前后的巨大变化, 继而陷于库恩那样的教条, 或相对主义论调。

在从温伯格的书里接触上述视角后隔了几个月, 在阅读量子物理先驱德布罗意 (Louis de Broglie) 的《The Revolution in Physics》 (物理学中的革命) 时, 我读到了下面的文字:

每当一个定律在一定的近似下以无可争议的方式得到验证, 我们就确确实实获得了一个未来的任何学说都无法使之废弃的结果。

虽说得不太显明, 但 “近似” 与 “永久” (“未来的任何学说都无法使之废弃”) 这两大特征的并举, 使德布罗意的这段文字也可被归入上述视角。 德布罗意的文字当然比温伯格的早得多, 但并无迹象显示两者之间有任何传承, 而本文所受的影响也是来自温伯格而非德布罗意。 不过德布罗意这样的 “老大” 既被我看见, 自然也要拉过来壮大声势的。

在结束这篇文章之前, 还有几句话要赘言一下: 科学的犯错和纠错最常见于模型、 假设、 推理、 计算、 实验等等方面; 对业已确立的基础科学理论来说, 则往往跟过度外推有关——比如牛顿力学极盛时期的机械观, 电磁理论极盛时期的电磁观等等, 都是过度外推所致的错误。 本文语境下的 “绝对正确” 的科学理论则因限定了范围和精度, 实际上只是对既有状态的描述, 而杜绝了领域性的外推[注六]。 一句话往往说得太满难免出错, 说得谨慎才可说对, “绝对正确” 貌似前者, 但在本文语境下实为后者。 由于限定了范围和精度, 本文语境下的 “绝对正确” 并不是一个固步自封的傲慢结论, 科学会像——并且也一直是像——积极纠错一样地积极突破限定, 不懈地追求越来越优越 (范围越来越广, 精度越来越高) 的理论。 严格字面意义上的绝对正确之不可达到或不可证明, 与界定了范围和精度的本文语境下的某些 “绝对正确” 的理论之存在, 都是现代科学的特点, 这可以作为对我以往那些更注重纠错层面的科学哲学文字的补充。

注释

  1. 英国哲学家休谟 (David Hume) 早在 18 世纪就已对这一点有所认识, 指出了我们无法在绝对严格的意义上对任何有关现实世界的命题作出证明。
  2. 从上下文虽不难看出, 但还是直接挑明一下: 本文所说的误差是理论自身的误差, 而非在理论框架内所作的本身也往往只是近似的具体模型、 具体计算等的误差。
  3. 这里让我们对科学理论作一个简单界定: 所谓科学理论, 必须有一定的普适性, 不能是诸如 “太阳比地球大” 那样本质上只是罗列观测事实的命题。 当然, 这种界定是很粗糙的, 而且不是一成不变的, 比如 “太阳比地球大” 在远古时期或许未必不能视为科学理论, 比如普适到什么程度能算科学理论也很难量化, 虽说牛顿理论、 相对论、 量子力学等等明显是科学理论, 更早的时期却有灰色地带, 需个案讨论——甚至讨论了也未必能达共识。 不过这对本文并无实质影响 (因本文并无穷举之必要), 故只在这里提一下, 而不作展开。 另外, 本文虽打着科学理论的牌子, 最能进入这种跟 “绝对正确” 相联系的层面的, 实际是基础物理理论, 因此我们实际讨论的将是基础物理理论。
  4. 超级细心的读者也许会提出, 在牛顿理论与相对论的偏差小于实验误差的特殊情形下, 我们将没有充足理由来宣称相对论本身的误差 “显然” 小于牛顿理论与相对论的偏差 (因为在这种情形下, “否则早被发现了” 不再构成推理理由), 从而也不再能把牛顿理论与相对论的偏差的两倍作为 “绝对正确” 的误差估计。 确实如此, 不过不难弥补。 因为在这种情形下, 我们可用某种常量——比如某个大于实验误差的常量 (因这种情形本身就是通过实验误差来界定的)——来作为 “绝对正确” 的误差估计。 另外要补充一点——虽是不言而喻的, 那就是 “绝对正确” 的误差估计不是也不必是对误差的最佳估计——实际上往往是为求 “绝对正确” 而刻意放宽的估计。
  5. 当然, 科学理论形形色色, 未必总能作出泾渭分明的判别, 在牛顿之前的时代也难免有不易判别的理论 (但如 [注三] 所述, 本文并无穷举之必要)。 另外值得补充的是, 能被表述为 “绝对正确” 的科学理论, 在所限定的范围和精度内, 虽不会被彻底推翻, 却有可能变得彻底无用——假如出现某个更优越同时还更易运用的理论的话。 比如哥白尼的本轮均轮体系, 若不允许对 “圆轨道” 概念作近似理解, 可以算作被彻底推翻, 若允许将 “圆轨道” 概念视为近似, 则可表述为 “绝对正确” 的科学理论 (虽然适用范围比牛顿理论小得多, 误差比牛顿理论大得多), 但同时也正是 “变得彻底无用” 的例子——因基于牛顿理论的椭圆轨道不仅更优越, 同时还更易运用。
  6. 从严格字面意义上讲, 哪怕对既有状态的描述也隐含着外推, 因为通过注定有限的实验点建立任何理论本身就是外推, 一个目前成立的理论的未来成立也是外推, 但只要限定在经受过足够多检验的范围和精度内, 而不作领域性的外推, 就无疑是够得上 “排除合理怀疑” 的标准的——这可视为 “排除合理怀疑” 一词在本文中的另一层具体含义。

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网友: liechi 发表时间: 2020-01-23, 22:57:27
我想,昌海先生的意思是:一个能“排除合理怀疑” 的科学理论, 如果明确其适用范围和可达精度,那就是一个正确的理论。所以,爱因斯坦并不是在伽利略推翻亚理斯多德的意义上推翻了牛顿。温伯格猜测库恩将二者等同,从而对科学“范式”的转变作出不切实际的描述,这一看法于我也有所得。

原子钟并不推翻机械表,甚至不推翻沙漏:)

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