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二〇〇五年日记

- 卢昌海 -

二〇〇四年日记 | 整理说明 <<

2005.1.6 星期四

粗略浏览了 Yuri Makeenko 的 “The First Thirty Years of Large-N Gauge Theory” (hep-th/0407028)。 这篇文章对 Large-N 方法在许多方面的应用做了简短的回顾。

2005.1.10 星期一

浏览了 Lee Smolin 的 “Scientific Alternatives to the Anthropic Principle” (hep-th/0407213)。 这是一篇批评人择原理的文章。 不过我觉得文章对人择原理的批评并不怎么令人信服 (读得比较快, 以后有可能会仔细重读), 反倒是其中对 MSSM 及超弦理论的评论与我的观点很一致: 那就是 MSSM 带有远比标准模型多的参数, 而超弦理论中的 compatification 等价于更多的参数。 这两点都是显而易见的, 却都很少在文献中得到应有的强调。

2005.1.24 星期一

自上周五搬家以来, 已经三天没有上网了, 颇有与世隔绝之感。 今天早上到办公室一查 email, 竟有一封是当年的室友发来的, 他说他的一位朋友给他寄去了我的那篇 “室友”。 这是建主页以来网站带给我的许许多多意外小惊喜中的一个。 愿人生多一些这样的意外惊喜。

这次搬家终于使我有了一个单独的书房。 只可惜我的书大半在杭州, 不知什么时候什么地点才是我的定居之处? 也许只有有了定居之处, 我才会将所有的书合并到一起, 也只有那时书房才算真正名副其实。

2005.1.31 星期一

Schwarzschild 解常常被视为是弯曲时空在没有物质的情况下也可以存在的例子 (不考虑宇宙学常数)。 不过需要注意的是, Schwarzschild 解其实是 Einstein 场方程在 R3—{0} 而非 R3 上的解 (就像 1/x 是 R—{0} 上而非 R 上的函数一样)。 R3—{0} 与 R3 的拓扑性质是完全不同的, 而微分方程在不同空间的解本就是很不相同的。

2005.2.13 星期日

几天前发现 Workstation (Dual Pentium III 933 MHz) 上的 Admin 账号无法进入, 也许是遭到入侵了, 今天重装了 Windows 2000。

据说 2003 年时一台无保护的电脑联到互联网后大约会在 15 分钟内遭到攻击, 而 2004 年的这一时间缩短为了 15 秒钟, 此言看来不虚。 由于 Verizon 的 DSL 一拖再拖 (上周五竟给我发来一个 email, 说我的电话线不符合 DSL 要求), 我在家中暂时用一台 Tablet 拨号上网, 虽只是偶尔用用, 但一上网就有 pop-up window 出现 (我用的已经是 Firefox, 且带 Adblock), 直到装了 XP SP2, 情况才好转。

2005.2.17 星期四

读了 Travis Norsen 的 “EPR and Bell Locality” (quant-ph/0408105)。 这篇文章运用 Bell 推导 Bell 不等式的方法对 EPR 悖论作了重新分析。 在这一分析中, 量子力学与定域因果性 (Bell 定域性) 之间的矛盾被表现得极为清晰 (清晰得简直 trivially simple)。 这一分析大致如下: 考虑一对处于自旋单态, 且在空间上彼此远离的粒子 (用下标 1 和 2 标识), 以 P(s1, s2, n1, n2, λ) 表示测量粒子 1 沿 n1 方向的自旋得到 s1 (可能的取值为 1/2 或 —1/2), 测量粒子 2 沿 n2 方向的自旋得到 s2 (可能的取值为 1/2 或 —1/2) 的几率。 式中的 λ 是对体系的完备描述 (假如量子力学就是完备描述, 则 λ = ψ)。 对于量子力学来说显然有:

P(1/2, 1/2, n1, n2, ψ) = 1/2 sin2(θ/2)
P(1/2, —1/2, n1, n2, ψ) = 1/2 cos2(θ/2)
P(—1/2, 1/2, n1, n2, ψ) = 1/2 cos2(θ/2)
P(—1/2, —1/2, n1, n2, ψ) = 1/2 sin2(θ/2)

其中 θ 是 n1 与 n2 之间的夹角。 但是假如定域因果性 (Bell 定域性) 严格成立的话, 对空间上远离的两个粒子的测量应当是彼此独立的事件, 因此:

P(s1, s2, n1, n2, λ) = P(s1, n1, λ) P(s2, n2, λ)

这样的结果在量子力学中显然是无法成立的, 因为按照量子力学, λ = ψ, P(s1, n1, λ) = P(s2, n2, λ) = 1/2。 这就是说 λ ≠ ψ, 即不能认为量子力学的描述是完备的。

Norsen 的综合观点是: EPR 的论证是无懈可击的, 它所论证的是量子力学的完备性与定域因果性之间的不相容性。 Bohr 当年的反驳似乎是想证明 EPR 的论证不成立, 其实整个反驳既未能推翻 EPR 的论证, 也不曾超越 EPR 的结论——即量子力学的完备性与定域因果性是不相容性的

2005.2.19 星期六

今天终于接通了家里的 broadband, 这回用的是 Time Warner 的 cable (以前是 Verizon DSL), ISP 是 EarthLink。

2005.2.22 星期二

读了 R. Balian and B. Duplantier 的 “Geometry of the Casimir Effect” (quant-ph/0408124)。 这篇文章介绍了有限温度及任意形状下的 Casimir 效应。 并提到 Casimir 效应对于标量场不存在, 原因是标量场的 Casimir 力发散; 而电磁场之所以有 Casimir 效应是因为电磁场所特有的边界条件使其等价于两个标量场, 一个满足 Dirichlet 边界条件, 一个满足 Neumann 边界条件, 两者的 Casimir 力 (注意是 Casimir 力而非能量, 能量对于标量场和电磁场都是发散的) 的发散部分恰好相互抵消。 不过我觉得把 Casimir 力发散与否作为判断 Casimir 效应存在与否的依据没什么说服力, 因为按照这种逻辑, 量子场论中的许多效应也就都 “不存在” 了。 不过标量场的 Casimir 力果真发散的话, 倒是一个值得研究的课题, 因为标准模型中的 Higgs 场是标量场, 因此原则上在 Casimir 力的计算中应当包含 (有质量的) 标量场。

这篇论文中有以下两个简洁的结果:

  1. 有限温度下两无限大平行理想导体板单位面积上的 Casimir 力为: —(π2/240)(c/L4) — (π2/45)[c/(βc)4]。 其中 L 为两平行板的间距, β = 1/kT。 式中第一项为普通的 Casimir 力。 这一结果成立的条件是 T 很小 (即 βc>>L)。
  2. 无限大理想导体板与理想导体球面间的 Casimir 力 (注意是总的力而非单位面积上的力) 为: —(π3/360)(cR/L3)。 其中 R 为导体球面的半径, L 为导体板与球面的最小间距 (是到球面而非球心的距离)。 这一结果成立的条件是 L<<R。

2005.2.28 星期一

读了 G. L. Kane, M. J. Perry 和 A. N. Zytkow 的短文 “An Approach to the Cosmological Constant Problem(s)” (hep-ph/0408169)。 这篇文章提出的观点是宇宙波函数是 inflation 所产生的各宇宙波函数的叠加。 由此产生的能级具有能带分布的特征, 最低能级 (即宇宙学常数) 为 E0/N, 其中 E0 为单一宇宙波函数的基态能级 (由量子场的零点能确定), 而 N 为 inflation 所产生的宇宙数目。 由这一结果可知, 只要 N 足够大就可以使宇宙学常数变得足够小。

2005.3.10 星期四

粗略浏览了 Karl Hess 与 Walter Philipp 的 “Bell's Theorem: Critique of Proofs with and without Inequalities” (quant-ph/0410015)。 这篇文章提出了这样一个观点, 那就是: 在概率论中有一个所谓的 Vorob'ev 定理, 它表明给定三个随机变量两两之间的联合概率分布 (A, B), (B, C), (C, A), 一般来说不存在与这些分布全部相容的联合概率分布 (A, B, C)。 而人们在推导 Bell 不等式时先验地假定了这种联合概率分布的存在性。 从这个意义上讲, Bell 不等式的推导在概率论的层次上有一定问题 (违反了概率论的 Kolmogorov 公理)。

2005.3.16 星期三

今天把在公司用的电脑换成了 Mac, 这是我第一次正式使用 Mac。 我用的这台 Mac 是 dual G5 2GHz with 2GB 内存, 几乎是市场上配置最高的, 用起来比我原先的 Windows XP (2.8GHz with 512MB 内存) 快得多 (唯一比 Windows XP 慢的地方是启动速度), 但噪音却比 Wintel 机器小得多。 Mac OSX 的用户界面设计之优美如同是一件艺术品 (机器的设计也同样很艺术化)。

2005.3.17 星期四

在公司的 Mac 上装了 DarwinPorts, 这使得许多 Open Source 的软件可以很方便地通过类似于 Debian apt-get 的方式安装到 Mac OSX 上。

2005.3.27 星期日

读了 G. T. Kneebone 的《Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics》中有关数学基础的部分内容。 比较有意思的是, 历史上 Cauchy 与 Weierstrass 对数学分析的严格处理 (以及 Cauchy 的复变函数理论) 都是在 Dedekind 的实数理论之前进行的, 而后者又是在 Peano 的自然数理论之前进行的, 历史与逻辑恰好颠倒。

2005.3.28 星期一

读了 R. Aldrovandi, J. G. Pereira and K. H. Vu 的 “Doing without the Equivalence Principle” (gr-qc/0410042)。 这篇文章的要点是阐述 telepallel gravity 可以不依赖弱等效原理而存在。 当弱等效原理成立时, 由 telepallel gravity 所得到的粒子运动方程与广义相对论等价, 反之则不等价 (但 telepallel gravity 本身仍适用)。 我在读这篇文章时忽然想到, 宇宙学常数项由于是直接正比于度规的, 它的存在会破坏以联络为基础的 telepallel gravity 与广义相对论的等价性。 这篇文章的另一个有意思的地方, 是提出在 telepallel gravity 中引力波是引力规范势而非度规场的波, 自旋为 1 而非 2, 这点当可付诸实验检验。 [整理注: 目前的引力波探测已基本可以排除纯矢量 (即自旋为 1) 的理论, 参阅《时空的乐章——引力波百年漫谈》第 22 章的 [注四]。]

去年 7 月 24 日我曾提到 Russell 的 Logicism 对 Russell 悖论的处理与传统数学中不允许将无穷大作为一个具体的数相似。 这种相似不仅是观念性的, 而且还很具体。 Russell 为集合引进了 type 的概念, 每一个集合必须有确定的 type, 而 Russell 悖论中的 “由所有不包含自身为元素的集合组成的集合” 不具有任何有限的 type, 这正是它与传统数学中的无穷大概念的类似之处。 假定这种集合存在而导致的 Russell 悖论也因此的确与 2004 年 5 月 26 日 引述的 Perron's paradox 相似。

2005.4.28 星期四

从昨天开始看 R. L. Vaught 的《Set Theory: An Introduction》 (2nd edition)。 其中对 Russell 悖论的处理的确就是认为悖论中所涉及的集合不存在, 与我以前的想法一致 (我以前没有很系统地研读过公理化集合论, 否则早就应该知道这些)。 而不存在的理由正是 Russell 悖论本身 (因为 Russell 中的矛盾正好说明假定该集合存在是错误的)。

2005.5.5 星期四

收到了从 Amazon 订购的全套《Star Trek: The Next Generation》的 DVD, 另一个系列——《Star Trek: Voyage》——也已订购。 这两个系列是我最喜爱的科幻电视连续剧。

2005.5.6 星期五

在地铁上读完了 Asimov 的 《Foundation and Earth》。 这是 Foundation 系列 (以情节顺序而论) 的最后一部小说。 整个故事其实并未结束, 只可惜 Asimov 已经去世, 永远没人知道他心目中的大结局 (如果有的话) 了。

2005.5.13 星期五

这几天开始在地铁上看 Brian Greene 的《The Elegant Universe》中有关超弦理论的章节 (现在乘坐地铁的时间成了我看 non-technical books 的主要时间)。 在这里摘记一点该书的内容:

  • 弦激发态的能量在 Planck 能区, 但弦的零点能是负的, 且绝对值也在 Planck 能区, 这使得弦论中能量较低的激发态有可能处在标准模型能区 (但绝大多数激发态仍在 Planck 能区)。
  • 超弦理论还无法解释十维时空中为什么只有一个时间维度, 以及为什么恰好有六个空间维度被紧致。
  • 超弦理论中的六维紧致空间为 Calabi-Yau 流形, 其数量有无穷多个, 种类则只有 “tens of thousands” (不过六维 Calabi-Yau 流形的分类据我所知是一个未解决的数学问题)。 同一种类中的无穷多个 Calabi-Yau 流形可以通过光滑形变从一个变为另一个。
  • 超弦理论的六维紧致空间中的孔 (hole) 的数目 (确切地说是 Euler 示性数的一半) 对应于标准模型中粒子 “代” (family) 的数目。
  • 由于弦论中位于标准模型能区中的激发态的能量是两个 Planck 能区里的能量值彼此相消所致, 因此除非对那些 Planck 能区的激发态能作极其精确的计算, 否则无法计算标准模型粒子的质量。

2005.5.14 星期六

《The Elegant Universe》续摘:

  • 20 世纪 70-80 年代关于弦论时空维数为 10 的论证是不精确的, 真正的时空维数是 11。——这与我以前所知不同, 我以前以为原先的论证是精确的, 只不过弦论还可以在 11 维时空中诠释。
  • 弦论中有可以确定 string coupling constant α 的方程, 可惜我们只知道其近似形式, 而该近似形式恰好是 0·α = 0, 即完全无法确定 α。——这与我以前所知也不同, 我以前以为 α 是弦论中的自由参数, 弦论是带 “单一参数” 的理论, 而该 “单一参数” 正是 α, 但 Greene 明确写道: “string theory has no adjustable parameters”。
  • 弦论中还有可以确定空间结构的方程, 可惜我们也只知道其近似形式, 而该形式同样有无数解 (包括紧致空间维数不等于 6 的解)。

2005.5.19 星期四

《The Elegant Universe》续摘:

  • 弦论中各种维度的 brane 地位相当 (P. Townsend 称之为 "democracy of branes")。 弦 (1-brane) 与其它 p-brane (p > 1) 的区别在于: 其它 p-brane 在所有五种超弦理论中 (这意味着弦的耦合常数处于特定区域) 其质量都反比于 string coupling constant, 而弦例外。 因此在微扰弦论中弦的贡献远大于其它 p-brane。
  • 弦论中对 topology change 的最初研究是 (通过 mirror symmetry) 针对紧致 Calabi-Yau 流形中的二维球面收缩为点, 并重新膨胀为二维球面的过程。 在这一过程中, Calabi-Yau 流形的结构并未发生根本性的变化。 一个更有意义的过程是稍后发现的紧致 Calabi-Yau 流形中的三维球面收缩为点, 并重新膨胀为二维球面的过程。 这一过程中, 由于前后的球面维数不同, topology 真正发生了变化 (这种变化被称为 coniford transition), Calabi-Yau 流形的孔的数目增加了 1。 从 (非紧致的) 四维物理时空中看, 这一过程对应于黑洞转变为无质量基本粒子的过程。

这些天还读了 R. L. Vaught 的《Set Theory》的部分章节。 但我不太欣赏该书的结构——该书前 5 章讲述 intuitive set theory, 从第 6 章起讲述 axiomatic set theory, 而从第 9 章起讲述形式化的 axiomatic set theory。 这么做显然是想循序渐进, 但结果却使 axiomatic set theory 失去了应有的严格性, 因为在第 6 章介绍完公理及第 9 章介绍完形式体系后, 为避免与前面章节重复, 要么略过公理体系的具体应用, 要么在具体应用时引用前面章节的结果, 简言之就是在用 intuitive 的老方法讲述 axiomatic 的东西。 我倾向于用这样的结构来讲述数学: 即以公理化的体系为主线, 但在叙述每一条公理及每一个形式化证明的同时穿插介绍有关内容的来龙去脉、 数学意义及可能的应用。 后者可以是 intuitive 的。

2005.5.20 星期五

《The Elegant Universe》 续摘:

  • 弦论中为什么有四个时空维数是非紧致的? Brandenberger 与 Vafa 提出过这样一种解释: 就象两个随机运动的点只有在二维时空 (一维空间) 中才有不可忽视的碰撞几率, 两条随机运动的弦只有在四维 (4 = 2 + 2) 或四维以下时空中才有不可忽视的碰撞几率 (一般而言, 两个 world volumn 为 m 与 n 维的随机运动客体只有在 m + n 维或 m + n 以下维的时空中才有不可忽视的碰撞几率)。 在宇宙早期, 所有的维度都在 Planck 尺度上, 环绕这些维度的弦的张力则起到一种阻止膨胀的束缚作用。 但在量子涨落的作用下, 仍然不时会有一些空间维度膨胀, 这种膨胀通常会很快就被弦的张力重新拉回, 但倘若这种膨胀的空间维度不高于三维 (即时空维度不高于四维), 则在这种膨胀空间里弦的碰撞几率较高, 这种碰撞有一半是在弦和反弦之间发生的, 会导致弦的总数锐减——从而使得阻止膨胀的束缚作用也锐减, 这种膨胀也就因此有可能持续。 而随着这种膨胀的持续, 弦越来越难以环绕这些维度 (因为环绕这些维度所需的能量正比于这些维度的大小), 从而越来越不可能继续束缚这些维度。

2005.5.21 星期六

下午在书店里翻了翻 Feynman 女儿 Michelle Feynman 编写的 Feynman 书信集《Perfectly Reasonable Deviations from the Beaten Track: The Letters of Richard P. Feynman》。 其中 Michelle 提到的 Feynman 生前的最后一句话给我留下很深的印象。 他说: “I'd hate to die twice. It's so boring”。 能把生与死的界限淡看到象 “boring” 这样一个词汇上, 是真正的 Feynman 特色!

2005.5.22 星期日

读完了《The Elegant Universe》。 最后几点摘记:

  • 在 M 理论出现之前, 弦论物理学家发现引力、 电弱及强相互作用的跑动耦合常数一般来说不会汇聚到同一点上, 除非对 Calabi-Yau 流形作 fine-tuning。 但 Witten 发现在非微扰区域 (即 M 理论) 里无需对 Calabi-Yau 流形作 fine-tuning 就有可能使所有相互作用的耦合常数汇聚在一起。 (不过该书没有说明四种相互作用的跑动耦合常数为什么需要汇聚到同一点上, 对称性似乎并无理由要一次性破缺, 而是完全可以先破缺为引力与某个大统一理论, 后者在稍低的能量上再进一步破缺为电弱及强相互作用。)
  • 弦论中的时空有可能是由更基本的概念产生的吗? Shenker、 Witten、 Banks、 Fischler、 Susskind 等人发现 M 理论中有一种 zero-brane, 它在大距离上类似于点粒子, 但具有非常奇异的小距离性质。 这种 zero-brane 有可能是 M 理论中最基本的客体。 对其小距离 (小于 Planck 尺度) 行为的研究表明在这种情况下普通几何有可能被非对易几何所取代。

2005.6.3 星期五

集合论中有些公理——比如 axiom schema of replacement (Fraenkel-Skolem)——显得很复杂, 比曾经被认为复杂得不像公理的欧氏几何的平行公理更复杂。 回想起来, 在数学的其它部分中似乎还真没见过如此复杂的公理。 不知这种复杂性是否是受 Russell 逻辑主义的影响。 Russell 的集合体系之所以极其复杂, 很重要的一个原因是因为他试图把整个数学建立在集合体系之上, 同时又想避免悖论。 这实际上是无法做到的。 数学真的必须要这么复杂的公理吗?

2005.6.12 星期日

Stanford Encyclopedia of Philosophy 的 “Symmetry and Symmetry Breaking” 条目中有一段关于 Dynamical Symmetry Breaking (DSB) 的不错的注释:

Note that SSB was in fact first introduced in the DSB form. In the BCS theory of superconductivity, as well as in the 1961 theory of broken chiral symmetry by Nambu and Jona-Lasino, SSB is realized dynamically through a fermion condensate. In the BCS theory, for example, the gauge invariance of electromagnetism is spontaneously broken by pairs of electrons that condense — forming a bound state — in the ground state of a metal. Although DSB has not (so far) proved successful as an alternative route to the problem raised by the Higgs fields in the Standard Model, it has been applied with success to specific cases: for example, besides the already mentioned case of the BCS theory, the current quantum field theory of the strong interaction (quantum chromodynamics), in the approximation that quark masses are very small, possesses chiral symmetries that are spontaneously broken by a condensation of quark—antiquark pairs.

2005.6.29 星期三

去年 9 月 29 日, 我曾提到过 H. I. Arcos, V. C. de Andrade 和 J. G. Pereira 的一篇认为曲率与挠率是对引力场的等价描述方式的文章。 今天读到了 Arcos 和 Pereira 的另一篇文章: “Torsion Gravity: A Reappraisal” (gr-qc/0501017), 其中提供了一些细节。 除等价性外, 这篇文章还提供了以下信息 (尚未读完, 因此只是一部分):

  1. 以挠率为基础 (曲率为零) 的引力理论中的时空被称为 Weitzenböck 时空。
  2. 以曲率为基础的引力理论 (即广义相对论) 只适用于引力普适 (即等效原理成立) 的情形, 而以挠率为基础引力理论没有这一局限性。
  3. 以曲率为基础的引力理论可被诠释为以 translation group 为基础的 (Abelian) 规范理论。

这篇文章还提到一个问题 (我也曾有过同样的疑问), 那就是按照曲率与挠率对引力理论的等价性, 它们代表的是相同的自由度; 但历史上人们曾研究过同时有曲率与挠率的情形, 并认为挠率描述的是自旋自由度, 与曲率描述的自由度独立。 这两种理解究竟哪一种正确? 该文认为这是一个需要由实验确定的问题 (但该文在理论上倾向于认为两者代表相同的自由度)。 不过我觉得, 即便纯曲率与纯挠率对应的自由度相同, 也不意味着当两者同时存在时他们仍对应于相同的自由度 (除非两者同时存在的情形可以约化为纯曲率或纯挠率的情形)。 而且曲率与挠率同时存在的情形是假想的, 未必是现实存在, 因此这未必是一个可以由实验判定的问题, 而更有可能是一个依据理论假设的不同而有不同答案的理论问题。

2005.6.30 星期四

今天收到《中国青年报》一位编辑的来信, 希望我为该报的科学探索栏目撰稿。

2005.8.4 星期四

今天在公司给我的笔记本电脑的 Linux 上做 package update 时居然造成了 X window system 的彻底崩溃。 公司里的两位 Linux 高手也无回天之力, 结果只好重装操作系统。 几年来, 这还是第一次在 Linux 上遇到如此严重的问题。 究其原因, 是 XFree86 与 X.org 的不兼容所致, 但 Debian 的号称高度可靠的 apt-get 系统居然没有能够自动避免这样的问题, 实在大大出乎我的意料。

2005.8.9 星期二

完成了对笔记本电脑 Linux 操作系统的重装工作。 这次装的是 Redhat Fedora 4, 此前曾试图安装 Debian 3.1, 结果失败。 从这些天安装 Linux 的经验来看, Linux 想要挑战 Windows 在 Desktop 市场的垄断还差得很远。 这几年 Windows 虽然没有出新版本, 但 Linux 在使用方便性上的追赶步伐很大程度上被新技术抵消了——像 wireless card 及一些主流 graphics card 的 3D 部分都需要自行下载 firmware 并安装调试, 而且那些 firmware 对 kernel version 异常敏感, 绝非大众用户可以应付。

2005.8.25 星期四

1993 年 9 月 3 日我曾提到过, 广义相对论的许多解的渐近度规应该用诸如 R-W 度规那样的现实度规取代 Minkowski 度规。 今天在读 J. P. S. Lemos 的文章 “Black Holes and Foundamental Physics” (gr-qc/0507101) 时得知, 有一些非渐近平直空间中的黑洞解已经被找到了, 比如渐近 anti-de Sitter 时空中的 toroidal black hole。

2005.9.6 星期二

开始读 Barton Zwiebach 的《A First Course in String Theory》。

Zwiebach 在书中明确说超弦理论没有无量纲自由参数, 但有一个有量纲自由参数: string length (即 string coupling constant)。 这与 Greene 的说法不同, 但与我以前所知的一致。 不过 Greene 的说法不会是没来由的, 有空得查查文献以确定这一点。

2005.9.13 星期二

在相对论中作用量通常取为 Lorentz 标量, Zwiebach 提到了常常被人——包括我——忽略的一点, 那就是这个条件似乎太强了些。 比如非相对论点粒子的作用量就不是 Galilean 不变的, 但运动方程仍是 Galilean 不变的。 不过现实物理似乎尚未用到不是 Lorentz 标量的作用量。

这段叙述让我想起自己中学时仿照 Landau 的《力学》所做的对相对论性点粒子作用量的推导, 后来我一度以为那个推导只不过是重复别人早已做过无数遍的事, 但现在看来, 我当时的推导有一个小小的优点, 那就是它没有用到作用量为 Lorentz 标量这一条件。

2005.9.19 星期一

各种维数的空间有许多拓扑性质上的差异, 三维空间的独特性质之一是具有 knot (二维空间没有 knot, 三维以上空间所有 knot 都等价于圈)。 我想这是否是超弦理论中当人们讨论闭弦与粒子的对应关系时很少提及 knot 的原因? 因为超弦理论是在十维时空中的, 所有 knot 都等价于圈。

2005.10.1 星期六

今年 1 月 31 日, 我曾经提到 Schwarzschild 解可以被视为 Einstein 场方程在 R3—{0} 上的解。 不过这种把本性奇点从时空流形中去掉的观点用来诠释静态 Schwarzschild 解尚可, 但却不是解决广义相对论奇点问题的办法。 因为广义相对论无法描述星体坍塌过程中原先 (无奇性) 的 R3 与后来的 R3—{0} 之间的拓扑结构变化。

2005.10.3 星期一

这些天在上下班的地铁上读 Mary Tiles 的《The Philosophy of Set Theory》, 有这样两点值得一记:

  1. 超限序数 (Transfinite Ordinal Number) 所对应的基数 (Cardinal Number) χ0, χ1, ... 两两之间不存在其它基数。 连续统假设涉及的是 2χ0 是否等于 χ1, 而非 χ0 与 χ1 之间是否存在其它基数。
  2. 幂集公理 (Power Set Axiom) 说: 对于任何一个集合 A, 存在一个集合 P(A)——被称为 A 的幂集——其元素是 A 的所有子集。 这里值得注意的是, 在公理集合论中, 构成新集合的方法之一是通过所谓的子集公理 (Subset Axiom), 这从一个侧面表明子集的定义不是想当然的。 但是幂集公理并没有对什么是子集作界定。 因此幂集公理虽然给出了幂集的存在性, 却并没有对其元素作具体界定。

2005.10.10 星期一

Zwiebach 的书中提到 D 维时空中光子 (无质量矢量粒子) 的自由度数为 D—2; 有质量矢量粒子的自由度数为 D—1; 引力子的自由度数为 D(D—3)/2。

2005.10.12 星期三

今天一早收到一封来自浙大, 署名为 Xuhao 的人发来的 email, 询问是否可以在丘成桐、 刘克峰、 季理真等人主编的《数学与数学人》杂志上刊登我的 “Riemann 猜想漫谈”。 这封 email 中最令我高兴的是这样一句话:

We find that your writings on your homepage are very excellent and popular, as Professor Yau, Kefeng Liu and Lizhen Ji all praise high of your articles.

由于这封 email 的 cc 名单上就有丘成桐 (Shing-Tung Yau)、 刘克峰、 季理真等人, 因此不会是客套。 丘成桐等先生竟然光顾过我的主页, 并对我的文章给予好评, 真是意外之喜。

2005.10.21 星期五

这几天在地铁上开始读 E. T. Bell 的《The Development of Mathematics》。 这本书除了史料之外还加上了许多独特的评论, 其中下面这段与我的想法比较一致 (许多没有学术背景的人往往夸大哲学的作用, 其实只不过因为那才是他们有能力插得进手的地方):

It may be regretable, but it appears to be true, that creative mathematicians pay little attention to philosophers whose mathematical education has not gone much beyond the elementary vocabulary.

2005.11.11 星期五

在 L. H. Ford 的 “The Classical Singularity Theorems and their Quantum Loopholes” (gr-qc/0301045) 中读到一个证明量子相干态可以具有负能量的简单证明: 假定 |ψ> = N(|0> + ε|2>) 为真空态与某个双粒子态的线性迭加 (N 为归一化常数。 Ford 没有说明为什么用双粒子态, 可能是为了让总动量保持为零), 则该相干态的能量为: E = N2[2Re(ε<0|T00|2>) + |ε|2<2|T00|2>]。 只要 |2> 满足 <0|T00|2> ≠ 0, 则总可以选择 ε 使得 Re(ε<0|T00|2>) < 0。 另一方面, 只要 ε 选得足够小, |ε|2 项可以忽略, 因此该相干态的能量是负的。

2005.12.24 星期六

探亲完毕返回纽约。

这次回国从 11 月 26 日离开纽约到今天返回, 历时将近一个月, 是几年来最长的一次。

在返回纽约的飞机上读了李淼的《超弦史话》的部分章节。 这部书曾在网上连载过, 并且很早就听说北大出版社要出, 结果却时隔约两年才正式出版。 我粗读了一下, 发现这种 “慢工” 并没有出细活, 书中有许多文法错误——该书原稿若是直接取自网络版, 则文法错误不足为奇, 但这些错误在编辑校验时应予更正, 也许是编辑们对物理内容太不了解, 以至于连纯属文法的错误也不敢更正。 不过以内容而论这仍是一本不错的书, 技术性内容比 Brian Greene 的《The Elegant Universe》多得多。

2005.12.25 星期日

《超弦史话》一书提到: 四维时空中的零质量粒子对应于六维紧致 Calabi-Yau 流形中 Dirac 算子的零模, 而后者的数目等于 Calabi-Yau 流形的 Euler 示性数的一半 (《The Elegant Universe》一书也提到这一结果, 但更为粗略)。 因此只要找到一个 Euler 示性数等于 6 的 Calabi-Yau 流形, 就可以给出四维时空中的三代费米子。 这个说法在中微子质量为零时是没有问题的。 但我们现在知道中微子的质量并不为零, 上述结果还有意义吗? 指标定理可以讨论所谓近似零模吗?

2005.12.28 星期三

读了 P. S. Joshi 的 “Cosmic Censorship: A Current Perspective” (gr-qc/0206087)。 Joshi 是《Global Aspects in Gravitation and Cosmology》 (Oxford University Press Inc., 1993) 一书的作者。

近期的许多研究表明裸奇点似乎可以由各种类型的初始条件所形成 (因此人们始终无法给出宇宙监督假设的适当表述, 因为各种表述都有反例)。 奇怪的是, 我从未见到有人讨论裸奇点如果出现会是什么样的? 假如宇宙中已经有某些物质坍缩形成了裸奇点, 它在观测上会有什么效应? 它与黑洞在观测上如何区分? 我之所以对这一点感兴趣, 还因为有些裸奇点是具有强引力场的, 我想知道为什么这种强引力场能允许非类空信号逃逸?

另外, Joshi 提到球对称自相似理想流体的坍缩可以形成裸奇点 (这只是许多种可以形成裸奇点的过程之一), 这似乎与 Birkhoff 定理相矛盾。 或许这是由于形成裸奇点的理想流体是充斥全空间的 (Birkhoff 定理是针对外部解的), 但如果这样的话, 裸奇点的存在——起码在这种情形下——就只是暂时的, 等物质坍缩完毕就会形成黑洞。

2005.12.29 星期四

我一直觉得数学上的直觉主义反对排中律是一件很违反 “直觉” 的事。 但前些天在杭州翻看自己很久以前买了却一直未读过的 Stephen Kleene 的《元数学导论》中的一段介绍时, 忽然发觉那的确有符合 “直觉” 的一面。 起码, 我念中学时曾有过类似的困惑 (我从未将之上升到理论的层次, 因此只能说是困惑)。 Kleene 提到直觉主义反对这样一种推理 (大意): 即一个自然数集 (其它无穷集也类似) 上的性质 F(n) 要么不成立, 要么 (起码) 对某个 n0 自然数成立。 我只能很含糊地解释一下我为什么认为这种反对的确有符合 “直觉” 的一面——因为很难找到规范的术语来表示我早年曾有过的困惑。 我念中学时曾问过一个问题: 有限大小的自然数中最大的一个是有限的还是无限的? 后来我知道这个问题的提法是错误的, 因为根本不存在 “有限大小的自然数中最大的一个”, 因此根本谈不上它是有限的还是无限的。 这个问题涉及到自然数集的这样一个性质: 那就是它是单向可列的, 也就是说, 可以由小到大进行列举, 却不可以由大到小进行列举。 换句话说, 如果我们把自然数从左向右排列的话, 它对于 “左” 和 “右” 是不对称的, 我们对它的左边了如指掌, 但右边是什么, 却是没有明确说法的 (比如最右边的数是什么是没有答案的)。 并不是所有的无穷集都如此, 比如线段 [0, 1] 上的点 (虽然不可列) 关于 “左” 和 “右” 就是对称的 (既可以谈论最左边的点, 也可以谈论最右边的点), 因此自然数的这种 “左” 和 “右” 不对称的特性从某种意义上讲不很符合 “直觉”。 回到直觉主义上来, “一个自然数集上的性质 F(n) 要么不成立, 要么 (起码) 对某个自然数 n0 成立” 正是建立在这种 “左” 和 “右” 之间的不对称之上的。 因为如果我们可以 “直觉” 地像谈论 “左” 一样谈论 “右”, 那么 F(n) 成立也可以是对比方说从右边数第二个自然数成立, 而这个 “自然数” 是不能用任何一个具体的 n0 来表示的 (因为 n0 只能表示有限数), 因此在这种 “直觉” 下, 反对 “一个自然数集上的性质 F(n) 要么不成立, 要么 (起码) 对某个自然数 n0 成立” 是有一定道理的。

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网友讨论选录

  • 卢昌海   (发表于 2020-04-13)

    这其实并非 “网友讨论”, 而只是一些额外的整理说明。 这些 “二〇〇年” 的日记——如 “整理说明” 所言——本身就是电子版, 这对整理来说是一种便利, 但在整理过程中也发现了一个弊端, 而且是有一定代表性的弊端, 在这里额外说明一下。 这弊端就是: 写电子版日记时, 每次增添新内容都是首先复制某一天 (通常是前一次) 的旧日记, 以便自动满足格式要求, 然后将旧内容清空, 替换成新内容。 但偶尔地——有时甚至不太偶尔地——会忘记清空和替换日期。 比如整理本文时居然发现了三个重复日期 (即有三次复制之后忘记了清空和替换日期)。 由于这些日记大都是阅读笔记, 日期除天知地知外, 就只有 (当时的) 我知, 不存在跟其他资料交互校验的可能, 从而已不可能复原, 凡重复的日期就只能简单地将第二个日期改为第一个日期的后一天 (实际上当然未必正好是后一天)。 这种类型的错误恐怕在我其他文章中也难免存在 (故有一定的代表性), 因为撰写每篇新作时, 我都是以一篇旧作为 template 的, 也就难免偶尔会犯上面这种错误。 特此说明一下。