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二〇〇四年日记

- 卢昌海 -

二〇〇三年日记 | 整理说明 <<

2004.1.4 星期六

读了 A. Zee 的一篇短文 “Dark Energy and the Nature of the Graviton” (hep-th/0309032)。 这是一篇纯猜测性的短文, 所提出的猜测很有意思。 Zee 将宇宙学常数问题与质子衰变问题作了类比, 因为他认为在这两个问题中都有一个物理量 (宇宙学常数或质子衰变率) 原先被认为是零, 后来 (因观测或大统一理论) 又被认为不是零。 Zee 并且认为除了形式上的相似之外, 质子衰变理论本身的发展对宇宙学常数问题的解决也有一定的启示作用。 早年的质子衰变理论用 mass dimension 4 的项 fπpe 描述衰变, 结果显然太大, 因此必须假定 f = 0 (类似于宇宙学常数 Λ = 0 的假定)。 但是在大统一理论中, 质子的衰变 (在低能近似下) 改用 mass dimention 6 的项 (f/M2)qqqe 描述, 从而多了 suppression factor 1/M2。 这一点之所有成为可能, 是因为质子场 p 不再是基本场, 夸克场 q 才是。 Zee 猜测, 假如 gμν 不是描述引力的基本场, 则同样的推理也有可能被用来解决宇宙学常数问题: 即由 mass dimention 4 的项 Λg1/2 变成 mass dimention p (>4) 的项, 从而引进 suppression factor 1/Mp-4

为了说明在改变宇宙学项的 mass dimension 的同时仍有可能保持 Einstein-Hilbert 项 (1/G)g1/2R 的 mass dimension, Zee 举出中子衰变项 fπnp 为例, 这一项在引进夸克后变为 fqAq (A 是胶子势), 仍是 mass dimension 4 的项。

2004.1.19 星期一

这几天在读 P. D. Ward 和 D. Brownlee 的 《Rare Earth》, 这是一部研究宇宙中高等生物存在可能性的著作。 以前我曾看过一篇简介, 觉得不错, 最近此书出了平装本, 就买了一本。

迄今有两处我觉得作者的分析不尽合理。 一处是在平装本前言中提及 extra-solar planet 时的评论: “While this shows that planets are common, it also shows how complex and varied planetary systems are, and how difficult it is to make a stable earth-like planet. Most of the extra-solar planets that have been discovered are giant planets in orbits that preclude the possibility of water-covered Earths with long-term stability.”——这是一种常常出现的错误分析。 这种分析之所以错误, 就在于目前所发现的 extra-solar planet 根本就不能作为行星系统的有效样本。 迄今发现的 extra-solar planet 大都是巨行星 (gas giant), 且轨道椭率较高 (因此 “preclude the possibility of water-covered Earths with long-term stability”), 但这完全是因为目前的探测手段对这类行星最为有效, 并不说明这类行星所占的比例一定很大, 也不说明大多数行星系中都有这类行星。 这就好比用一张网眼 10 厘米的鱼网打渔, 打上来的鱼长度都在 10 厘米以上, 并不说明大多数鱼的长度都在 10 厘米以上。

另一处是在分析球状星团 (globular cluster) 不适合产生 habitable planet 时。 这一分析的许多部分都没有问题, 结论也未必不成立。 但有些部分, 比如说球状星团中的行星上不会有黑夜, 我觉得未必。 根据该书所举的数据, 球状星团中恒星密度通常比太阳附近高两个数量级左右 (这有所低估), 由此可知恒星平均间距仍在光年数量级上。 在这种间距下, 夜空虽比地球上亮三四个数量级, 与白昼仍相去很远, 甚至还比不上满月。

2004.1.27 星期二

读了 S. M. Carroll 的 “Why is the Universe Accelerating?” (astro-ph/0310342)。 这篇文章介绍了有关宇宙学常数的若干理论及猜测。 我对 quintessence 比较不欣赏。 这类理论试图用 dynamical cosmological constant 来解释 coincidence problem (即为什么目前的暗能量密度与其它能量密度恰好在同一数量级上), 但大都要引进 m ~ H0 ~ 10—33 eV 的标量粒子及其它 fine-tuning, 而且标量场的势也十分任意 (尽管超弦理论也许足以给所有这些势找到出处)。

2004.1.30 星期五

今天在网上搜索时, 忽然发现 2003 年 5 月 31 日的《钱江晚报》在 “新知·教育” 一栏中有一篇题为 “祝福语” 的文章, 里面摘引了许多读者有关童年的简短回忆, 其中竟有几句注明是我发自美国哥伦比亚大学的。 我一看内容, 原来却是一位网友在 “繁星客栈” 上回复我的短文 “童年的课文” 时所写的话。 这段话既不是我写的, 也不是我投寄的, 更不是发自哥伦比亚大学的 (那时我早已离校), 却变成了 “卢昌海 (发自美国哥伦比亚大学)”, 真是彻底的张冠李戴。

2004.2.11 星期三

替 workstation (Dual PIII 933) 更换了显卡。 除 Linux 没能识别新显卡外一切正常。

2004.2.13 星期五

读了一段 P. Yourqrau 的《Gödel Meets Einstein》 (Open Court Publishing Company, 1999), 再次思考了一下时间旅行方面的问题。 Gödel 宇宙中的时间轴闭合究竟是什么含义? 广义相对论中的时间参数 t 是否一定就是物理上的时间? 这些问题乍听起来不言而喻, 细想一下却令人困惑。 比如在 Gödel 宇宙中如果考虑一个具有相互作用的粒子群的运动, 倘若 t 就是物理上的时间, 那么这些粒子的运动无论如何复杂, 必须在让时间轴闭合的时间 (即时间轴的 “周长”) 之后回到原有的位形; 倘若 t 可以不是物理上的时间, 那它就只是一个封闭的 (具有 Minkowski signature 的) 四维区域的坐标——好比球面上的坐标, 它的闭合并不表明在该区域中的运动轨迹必须闭合。 由于粒子群的运动受其相互作用影响, 而后者并不属于广义相对论的范畴, 从这个角度讲, 粒子群的运动是否具有周期性似乎不应该由广义相对论决定。 这是可以用理论计算来检验的, 倘若粒子群的运动不是周期性的 (或者虽然是周期性的, 但周期与 Gödel 宇宙中时间轴的 “周长” 不相容), 则 Gödel 宇宙中的时间 t 就应该不同于物理上的时间。

另外一个可能性是 Gödel 宇宙也许是 “不稳定” 的, 也就是说只要宇宙的物质分布对导致 Gödel 解的物质分布有细微的偏离, 时间轴就将不会闭合。 由于时间轴的闭合与否有着本质的差别, 在物理上并不存在时间轴 “非常接近闭合” 这样的概念, 只要时间轴不闭合, 所有的因果悖论立刻就不存在了。 倘若这种可能性被证实, 那么 Gödel 宇宙就不会对物理学上的因果律产生危害——因为导致 Gödel 解的物质分布本身是作严格周期性运动的, 其中根本没有因果可言, 而一旦引进诸如 “生活在 Gödel 宇宙中的生物” 这样的概念, 就会破坏时间轴的闭合性。

第三个可以考虑的问题是如果时间轴闭合, 在不同空间点上的闭合时间轴是否具有相同的 “周长”? 在 Gödel 宇宙中答案是肯定的, 但倘若物质分布偏离 Gödel 解所假定的 (极有规律的) 分布 (当然, 假定时间轴仍闭合——否则就回到前面所说的情形了), 答案恐怕就未必了。 倘若不同空间点上的闭合时间轴不具有相同的 “周长”, 那么宇宙的位形就将不会具有全局的周期性, 这将缓和由闭合时间轴导致的因果律方面的困难 (因为在这种情形下时间旅行者不可能回到严格的过去)。

2004.2.19 星期四

继续读 Yourqrau 的书。 原来 Gödel 本人也考虑过时间参数 t 不同于物理上的时间的可能性, 而且认为两者的差异是肯定的。 在 Yourqrau 的书中写道: “(Gödel) draws a sharp line between intuitive time and what is indicated by ‘t’, the temporal component of relativistic spacetime”。 Gödel 对 intuitive time 还有一些称呼方法, 比如: “Kantian time”、 “pre-relativistic time” 以及 “what everyone understood by time before relativity theory”, 看来他认为相对论之前直觉上的时间与物理理论中的时间是一致的, 相对论之后则不同了。 那么什么是直觉上的时间最本质的特点呢? Gödel 认为: The essence of time, in this sense, is that it is “a one-dimensional manifold that provides a complete linear ordering of all events in nature”。 我觉得这是一个非常好的定义, 运用了数学上的 order 的概念, 避免了在无意间用时间本身来定义时间的错误。

我以前也曾经考虑过时间与空间的差别在具体物理理论中的体现。 在相对论中两者唯一的差别似乎就是度规张量的 signature 中的负号, 但这个负号与时间的单向性似乎并没有什么关系。 我们是否应该把类似于 Gödel 关于时间单向性的数学定义那样的东西加入到物理理论中, 作为理论基础的一部分呢? 我不知道。 不过数学上的 order 的概念与物理理论原有框架中的微分方程等似乎无法有机地结合在一起。 如果两者无法有机地结合起来, 那么将这种时间单向性作为理论的基础实质上不过是对理论增加了一个约束, 和人为地抛弃 Gödel 解并没太大分别。


下载安装了 Mozilla FireFox 0.8 (并下载安装了 Crescendo midi plugin), 感觉非常不错! 界面十分简洁, 速度也很快。 以后就以它作为主要浏览器了。

2004.2.26 星期四

这两天读了 Carlo Rovelli 的 “A Dialog on Quantum Gravity” (hep-th/0310077)。 这篇文章的作者是 Loop Quantum Gravity 的核心人物之一, 曾给出空间量子化的证明。 他在这篇仿照 Galilei 对话的文章中通过一位教授 Simp (对应于 Galilei 对话中的 Simplicio) 与研究生 Sal (对应于 Galilei 对话中的 Salviati) 的对话对比了量子引力的两种主要流派: 超弦理论和 Loop Quantum Gravity。 这篇文章对有些观点的阐述非常透彻, 以下几段给我的印象尤其深刻:

Simp: ... In a world where gravity was not observed, a theoretician with string theory would have predicted the existence of gravity.

Sal: In a world where gravity was not observed, a theoretician, having noticed that the Veneziano amplitude disagrees with reality would have just discarded it. The reason we all got interested in string theory is because there is gravity in it, without previous knowledge of gravity, string theory would not have been taken seriously ...

Simp: ... isn't the existence of a minimal length obviously intrinsically incompatible with Lorentz invariance?

Sal: No, this is quantum theory. It would be like saying that the existence of a minimal size of the z-component of the angular momentum breaks rotation invariance, because you can smoothly rotate it to zero. In quantum theory what changes smoothly is the probability of getting this or that eigenvalue, not the eigenvalues themselves. Same with minimal length, which appears as an eigenvalue. If you begin boosting something which is in a length eigen-state, you get a smoothly increasing nonvanishing probability of getting a different length eigenvalue, not a shorter eigenvalue.

这篇文章的缺陷是 Simp 的水平好象太低了一些, 与其教授身份不太符合。 Rovelli 毕竟不是写小说的人。:-)

2004.3.4 星期四

将 Carlo Rovelli 文章的第一部分翻译成了中文, 这是我网站上的第一篇译作。 我所采用的是一种特殊的翻译方式, 我把它称为模糊翻译


这些天在往返公司的地铁上阅读余秋雨的《千年一叹》。 读到讲金字塔的那一篇时忽然想, 人们常说的金字塔的巨石缝中连一张纸 (或薄刀片) 都插不进, 或许未必能作为建筑工艺的证明。 一个建筑, 几千年风化腐蚀下来, 就算有缝隙恐怕也被填满了。

2004.3.24 星期三

H. Murayama 在 Lepton Photon 2003 的题为 “Outlook: The Next Twenty Years” (hep-ph/0312096) 的 concluding talk 中有一个有意思的类比: 电子自能问题 (即线度在 10—13cm 以下时电子自能大于电子质量) 的解决方法是将粒子数加倍, 即引进反粒子, 通过正反粒子对的产生湮灭过程 (该过程对自能的贡献为负) 使得自能由 mec2 × α(re/r) 减少为 mec2 × (α/4π)ln(re/r) (适用于 r < re); Higgs 自能问题的解决方法也是将粒子数加倍, 只不过这回引进的是超对称粒子。

2004.3.28 星期日

今天有网友在繁星客栈上询问量子场论微扰级数的发散性, 使我重新思索了一下 1951 年 Dyson 的证明。

Dyson 的证明十分简单 (算不上严格的证明), 基本思路是这样的: 如果 QED 的微扰级数对于耦合常数 e2 > 0 的某个数值收敛, 那它必定在复平面上以 e2 = 0 为圆心的某个圆内收敛, 其中包含实轴上 e2 < 0 的某个区域。 但后者是不可能的, 因为在物理上可以证明, 倘若 e2 < 0, 电磁系统不可能存在稳定的真空态, 由大量正电荷与负电荷分别聚集所形成的态具有比真空更低的能量。 这种态对应于微扰级数中的高阶项, 这说明微扰级数中的高阶项会变得越来越重要。 这种级数至多是一个渐进级数。

我觉得 Dyson 其实只是证明了: 如果微扰级数收敛的话, 它的收敛域将包含得到该级数所依据的物理模型本身无法涵盖的区域。 但这似乎没什么不可以的, 谈不上矛盾, 也未必可以反证出微扰级数不收敛的结论。

一个值得考虑且不太复杂的问题是: 倘若电荷是同性相吸、 异性相斥, 电磁理论的基本方程式是什么? (在普通的 Lagrangian 中让 e2 < 0, 所得结果不是实数)

2004.4.4 星期日

晚上读了 S. Das 的 review: “Black Hole Thermodynamics: Entropy, Information and Beyond” (hep-th/0403202), 发现黑洞熵除了 Loop Quantum Gravity 及超弦理论外还有一种微观解释 [S. Carlip, Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 241301]: 那就黑洞视界上存在一种 asymptotic conformal symmetry, 其对应的 conformal field 的自由度数正好是黑洞熵所要求的。

2004.5.5 星期三

读了 Lee C. Loveridge 的 “Physical and Geometric Interpretations of the Riemann Tensor, Ricci Tensor, and Scalar Curvature” (gr-qc/0401099)。 在这篇文章中, 作者给出了 Ricci 张量的几何解释为: D2δV/dτ2 — D2flatδV/dτ2 = —δV Rμν TμTν (其中导数沿 Tμ 取), 即 Ricci 张量描述体积元沿 Tμ 平行移动时因曲率造成的变化 (减去部分 D2flatδV/dτ2 为曲率之外的因素——坐标因素——造成的变化)。

作者还给出了曲率标量的几何意义为与 Gauss 曲率相似; Einstein 张量的几何意义为: RD—1 = —2Gμνtμtν, 其中 RD—1 为与 tμ 正交的三维空间的曲率。 由此可以得到 R3 = —4πGρ, 即三维空间 (定义为与时间轴正交) 的曲率由物质密度所确定 (Schwarzschild 解的三维空间曲率为零?)。 作者用这些关系成功地从 Einstein 场方程推出了 Newton 引力定律。 这是一篇从教学角度讲颇有意思的文章。

2004.5.11 星期二

一直以来, 我觉得 φ4 理论在非微扰下平凡而在微扰下的非平凡, 是对微扰论与重整化的一个很直接的挑战。 但 F. Strocchi 的 “Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory” [hep-th/0401143, Found. Phys. 34 (2004) 501-527] 中的一段话使我不那么确定这一点了。 Strocchi 写道:

Unfortunately, the physically motivated constraints W1-W6 are highly non-trivial to satisfy, as indicated by the non-perturbative results on the triviality of the λφ4 theory and possibly of quantum electrodynamics. It may be instructive to note that the λφ4 theory in four space time dimensions would no longer be trivial if either the Hilbert space structure (i.e. positivity) or the spectral condition (λ>0) is relaxed.

事实上, Wightman 公理 (即 W1-W6) 虽然是 physically motivated, 但它所涉及的有些数学结构与物理之间的对应是不可能严格检验的。 比如态空间是否是严格的 Hilbert 空间、 可分还是不可分等, 这些在数学证明中至关重要, 在物理上却是无法检验的。 因此 axiomatic QFT 是否真的对应于人们在微扰论中研究的 QFT 还是个未知数, 两者不一致也就未必是矛盾。

2004.5.17 星期一

今天接到好友陈学雷电话 (他这几天陪太太在 Columbia 参加毕业典礼), 得知其年底做完 postdoc 后将回北京, 到国家天文台工作。

2004.5.24 星期一

今天从繁星客栈读者的转贴中得知一位民间 “科学家” 大段抄袭我的 “追寻引力的量子理论” 一文, 为其民科作品做包装。 到 Google 上一查, 这样的人居然是 “公开发表学术论文 106 篇, 先后获得全国、 省、 市 (政府、 科协、 社科联、 学会) 优秀成果奖 24 个” 的 “耿正的学者”。

2004.5.26 星期三

读了 James Ferguson 的 “A Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications” (math.HO/0402357)。 其中引用的 L. C. Young 在《Lectures on the Calculus of Variations and Optimal Control Theory》 (American Mathematical Society, 2000) 一书中的几段话写得非常好:

Perron's paradox runs as follows: "Let N be the largest positive integer. Then for N ≠ 1 we have N2 > N contrary to the definition of N as largest. Therefore N = 1."

The implications of this paradox are devastating. In seeking the solution to a problem, we can no longer assume that this solution exists. Yet this assumption has been made from time immemorial, right back in the beginning of elementary algebra, where problems are solved starting off with the phrase: "Let x be the desire quantity."

In the calculus of variations, the Euler equation and the transversality conditions are among the so-called necessary conditions. They are derived by exactly the same pattern of argument as in Perron's paradox; they assume the existence of a solution. This basic assumption is made explicitly, and it is then used to calculate the solution whose existence was postulated. In the class of problems in which the basic assumption is valid, there is nothing wrong with doing this. But what precisely is this class of problem? How do we know that a particular problem belongs to this class? The so-called necessary condition do not answer this. Therefore a "solution" derived by necessary conditions only is simply no valid solution at all.

It is strange that so elementary a point of logic should have passed unnoticed for so long! The first to criticize the Euler-Lagrange method was Weierstrass, almost a century later. Even Riemann made the same unjustified assumption in his famous Dirichlet principle ...

The main trouble is that, as Perron's paradox shows, the fact that a "solution" has actually been calculated in no way disposes of the logical objection to the original assumption.

2004.6.1 星期二

前些天和几位网友在繁星客栈上讨论了一下惯性系的定义。 这几天仍在间或地思考 (惯性所致)。 我觉得现代物理中的真空颇有点象 Newton 时代的绝对空间, 它甚至可以像 Newton 利用绝对空间所做的那样用来定义惯性系! 所不同的是现代物理中的真空是 Lorentz 不变的, 因此它不是 “一个” 参照系, 而是 “一类” 参照系, 即惯性系。 这 “一个” 与 “一类” 之间的差别正是 Newton 绝对空间与狭义相对论时空的差别。 真空不像 Newton 的绝对空间那样可以用来定义绝对运动。

但是 Newton 的绝对空间曾经试图扮演的另一个角色, 即作为定义加速运动的参照, 却可以用现代物理中的真空来实现 (从纯观念的角度看, 这一点并不奇怪, 因为真空是 “一类” 参照系, 只说明它不能用来区分同属该类的各种运动, 但偏离这一类的运动却是有可能被检测的)。 按照现代物理, (无引力场的) 真空中的加速观测者会发现自己处于所谓的 Unruh 辐射 (Unruh 效应) 构成的 thermal bath 之中, 用这一点来判断加速运动与 Newton 用惯性力、 水桶实验等来判断加速运动有着异曲同工之妙。 Mach 对 Newton 的批评主要是说惯性力、 水桶实验等也许可以用远方星体的存在来解释, 未必是绝对空间的体现。 但是 Mach 提出的思路把惯性的起源变成了非定域的, 这并不被实验所支持。 因此我现在并不认为 Mach 的思路对解决惯性起源会有实质作用, 惯性的起源极有可能是定域的。 我倾向于认为即使宇宙中只存在单一物体, 惯性也一样会存在, 而真空将取代 Newton 的绝对空间成为惯性的物理起源, 也成为惯性系的判定依据。

2004.6.2 星期三

今天在网上查找与 Unruh 效应有关的资料时看到一篇讨论引力场中自由下落电荷是否会辐射的文章, 其中有这样一段解释:

The solution to this apparent difficulty is to be found by considering an actual measurement of radiation. Radiation is defined by the behavior of the fields in the limit of large distances from the source. Correspondingly, an observer who wants to detect the radiation cannot do so in the neighborhood of the particle's geodesic. Rather, he must be at a large distance from it, where gravitational fields have different values. The principle of equivalence, however, is a locally valid principle, referring to the geodesic of the particle, whereas the discussion above shows that an observation of radiation is not a local observation.

Whatever gravitational field we introduce for the purpose of comparing it with an inertial field, we must be sure to have a distribution of distant stars which define our inertial systems. This means in particular that any homogeneous gravitational field is necessarily of finite extent, imbedded as it were, in an inertial coordinate system. We remark parenthetically that an infinite homogeneous gravitational field does not exist within the framework of general relativity either. The nonexistence of infinite homogeneous gravitational fields assures us that observation of radiation (observer at large distance from the source) takes place outside the homogeneous part of the gravitational field.

An electron which falls freely in a uniform gravitational field embedded in an inertial frame will radiate, and one which sits at rest on a table in the same field will not radiate; and these two statements do not contradict each other.

文章给出的参考文献为: Thomas Fulton, Fritz Rohrlich, “Classical Radiation from a Uniformly Accelerated Charge”, Ann. of Phys. 9, 499-517 (1960) (以上解释很可能出自该文) 及 F. Rohrlich, “Principle of Equivalence”, Ann. of Phys. 22, 169-191 (1963)。

2004.6.8 星期二

Riemann ζ 函数零点间距在归一化后的分布很有规律 (与随机矩阵理论的本征值分布有关), 素数间距在归一化后的分布又如何呢?

2004.6.27 星期日

力学中对惯性系的定义是比较令人头疼的。 不深究的话, 惯性系通常可以定义为: 不受外力作用的物体在其中作匀速直线运动或静止的参照系 (深究的话, 这里涉及到对 “不受外力” 的定义, 以及对坐标系的选择)。 但是在这之外还需要加上一条: 相对于一个惯性系做时空平移、 空间旋转或匀速直线运动的参照系也是惯性系。 这一条粗看起来有点象是把 “不受外力作用的物体在其中作匀速直线运动或静止” 作为物理规律加以确立 (参阅我在 1993 年 2 月 14 日叙述的观点), 但其实不然。 因为这一条是对惯性系作为一个参照系集合的定义。 有了这一条, 相对性原理才有意义。 离开了这一条, 我们连是否存在一个以上惯性系都不知道, 也就谈不上物理规律在不同惯性系中具有相同形式 (即相对性原理) 了。

2004.7.5 星期一

这几天读了 Roman U. Sexl 和 Helmuth K. Urbantke 的 《Relativity, Groups, Particles》 一书对 Lorentz 变换的推导。 他们只用到了 6 月 27 日提到的惯性系定义 (它表明四维时空中的直线——即匀速直线运动的世界线——在坐标变换下仍为直线, 从而变换是线性的), 外加一些基于相对性原理的限制 (比如坐标变换的合成与单一坐标变换具有相同形式, 运动速度为 v 的变换与运动速度为 —v 的变换互逆, 等), 就推导出了与 Lorentz 变换只差一个常数 K 的坐标变换。 其中 K 只有三种取值: K = 0 为 Galilei 变换, K = —1 为 Lorentz 变换, K = 1 为时空间的普通旋转 (因无法保持时间的单向性而被抛弃)。

在这一推导中有两点很有意思: 一是结果中的常数与 Robertson-Walker 度规中的 K 很相似, 这种相似性是否是某一类数学结构的普遍特征? 二是 K 的三个可能数值分别对应于 t2, t2 — x2, t2 + x2 为不变量。 为什么这三者之一必为不变量? 从惯性系的定义及相对性原理中可以更 “直观” 地得到这一结论吗?

2004.7.7 星期三

我在 1993 年 2 月 14 日的日记中曾提到 “相对论与旧物理学的差别从结构上讲是相对论否定了一些曾经被认为是 ‘物理规律’ 的东西, 比如绝对时间, 速度线性叠加等, 而认定了一些新的规律, 如光速恒定等”。 当时我认为以光速为 C 作为新的物理规律只是选择之一。 其它选择, 比如 Maxwell 理论, 也是等价的。 这一点从原则上讲虽然不错, 但事实由于 Maxwell 理论的不变性是与电磁场的变换规律联系在一起的。 因此要通过 Maxwell 理论来建立相对论, 就必须把电磁场的变换规律作为假设 (换句话说, 用 Maxwell 理论而非光速不变作为物理规律来建立相对论, 相当于是用电磁场变换取代光速变换 C' = C), 而这显然是十分复杂的, 不仅不容易从实验中得到, 即使得到了作为理论基础也显得过于繁复。 从这个意义上讲, 选择象光速不变这样的标量型规律是最为合适的 (而且在速度的定义中只涉及空间与时间, 最适合作为理论的起点)。

2004.7.12 星期一

7 月 5 日提到的三种坐标变换分别对应于 SO(3), SO(4) 和 SO(3, 1) 群。 研究在何种数学条件下可以从四维实线性变换群 GL(4, R) 中得到 (且只得到) 这三个群应该对理解相对论的基础有所帮助。

2004.7.14 星期三

读了 J. P. Lewis 和 U. Neumann 的 “Performance of Java versus C++”。 这篇文章很独特地提出了 Java (运用 JIT compiler 后) 有可能比 C/C++ 更快。 作者的理由是: (1) C/C++ 中的 pointer 可以指向任何东西, 从而 C/C++ compiler 无法把诸如 for-loop 中的 loop bounds 和 index 等变量放入 register (因为无法确定 pointer 是否会指向这些变量), Java 则不会出现这种问题; (2) Java 的 garbage collector 常常被认为很慢, 但事实上由 garbage collector allocate 的内存往往与刚被用过的内存连在一起, 从而在被用到时有很大可能性已经在 cache 中 (malloc/free 则不然); (3) JIT compiler 通常知道 CPU 类型, 并据此进行优化。 而普通的 compiler 通常无法做到这点。

2004.7.16 星期五

今天浏览了几篇有关广义相对论的 gravitomagnetic 近似的文章 (M. L. Ruggiero, A. Tartaglia, “Gravitomagnetic effects”, gr-qc/0207065; A. Tartaglia, M.L. Ruggiero, “Gravito-electromagnetism versus electromagnetism”, gr-qc/0311024; Bahram Mashhoon, “Gravitoelectromagnetism: A Brief Review”, gr-qc/0311030)。 Gravito-Electromagnetism 的基本方程式为 (c = 1):

· E = 4πGρ
× E = —∂B/∂t
· B = 0
× B = ∂E/∂t + 4πGJ

其中 E = —φ — ∂A/∂t, B=×A, 而 φ ~ GM/r, A ~ GJ×r/2r3。 Lorentz 力方程为: F = —mE — 2mv × B。 这里所用为 Mashhoon 的约定, 与另两篇差几处符号。

这组方程式的性质与普通电磁理论有不小的差异, 比如没有 Meissner-like effect (gr-qc/0311024)。

2004.7.17 星期六

Roman U. Sexl 和 Helmuth K. Urbantke 的《Relativity, Groups, Particles》一书对时钟佯谬的分析很简洁并且一针见血。 他们的理由很简单: 那些把这一问题引向佯谬的分析错就错在把 ds2 = dt2 — dx2 运用到了非惯性系中。 狭义相对论中的非惯性系就象普通几何中的非 Descartes 坐标系。 在普通几何中, 只有 Descartes 坐标系中的距离元才是 ds2 = dx2 + dy2, 其它坐标系中的距离元并不是坐标元的平方和, 比如极坐标系 (r, φ) 中的距离元并不是 ds2 = dr2 + dφ2。 狭义相对论也类似, 只有惯性系中的距离元才是 ds2 = dt2 — dx2

2004.7.18 星期日

读了 S. Deser 的 “The Many Dimensions of Dimension” (physics/0402105)。 这篇短文对物理理论中的时空维数做了简单评述, 其中提到 11 维超引力理论的维数分解 (4+7) 的可能的动力学原因是其中的一个 3-form 势 AMNP 所对应的 4-form 场强 BMNPQ = ∂[QAMNP] ([...] 是指标的反对称化) 造成了对称性破缺——类似于 Higgs 机制。

2004.7.24 星期六

Russell 悖论的集合论表述是: 由所有不包含自身为元素的集合所组成的集合是不是自己的元素? 我总觉得它和那些由假设根本不存在的东西 (通常是无穷大) 所引发的矛盾——比如 5 月 26 日引述的 Perron's paradox——相似。 在普通数学中, 这类东西并不构成悖论, 因为在普通数学中无穷大并不是一个具体的数, 先验地把无穷大作为一个具体的数是不允许的。 但在集合论中无穷集合比比皆是, 这也许是问题难于处理的原因。 Russell 本人的 Logicism 在我看来就是仿照传统数学, 否认造成矛盾的客体——即由所有不包含自身为元素的集合组成的集合——的存在, 只是并不成功。

2004.7.27 星期二

读了 Gerard 't Hooft 的 “On Peculiarities and Pit Falls in Path Integrals” (hep-th/0208054)。 由于路径积分的定义涉及到对时空的格点化及取格点间距趋于零的极限, 因此 't Hooft 讨论了理论的小距离 (即大动量) 行为。 他区分了这样几种情形:

  • 理论可重整且渐进自由 (比如 QCD): 这时理论的微扰特性最为优越, 与格点间距趋于零的极限不矛盾。 但仍有诸如 instanton effect 等非微扰效应。
  • 理论可重整且跑动耦合常数在小距离上趋于常数 (fixed point): 这比渐进自由来得复杂, 但如果该常数很小, 理论仍可能具有良好定义。
  • 理论可重整且跑动耦合常数在小距离上具有极限环 (limit cycle): 我们对这类理论所知极少, 它们有可能是普适类 (universality class), 就象在统计力学中遇到的。
  • 理论可重整但跑动耦合常数在小距离上发散 (比如 QED): 这时无法在微扰论中取格点间距趋于零的极限, 因为后者会使耦合常数越出微扰论的适用范围。 但由于理论可重整, 因此耦合常数的发散很缓慢 (对数发散), 从而微扰论在近似计算中仍很有效。

在高于四维的时空中, 由于为使能量有下界所需要的四次方项不可重整, 't Hooft 认为 “the existence of any consistent quantum field theory at n > 4 should be dubious. This should even include supersymmetric theories. Supersymmetry is difficult — if not impossible — to reproduce on a lattice”。

这篇文章还讨论了 Wick rotation 的适用性, 是很不错的参考短文。

2004.7.31 星期六

6 月 8 日所提到素数间距在归一化后的分布, A. M. Odlyzko 在 “On the Distribution of Spacings between Zeros of the Zeta Function” 一文中曾经提到 “The number of primes in short intervals is observed experimentally and is conjectured theoretically to be distributed like a Poisson random variable”。 他所引的参考文献是 P. X. Gallagher, “On the distribution of primes in short intervals”, Mathematika 23 (1976), 4-9。

2004.8.9 星期一

将 Celeron 800 MHz Notebook 中的 Mandrake Linux 8.0 换成了 10.0。

2004.8.14 星期六

Workstation (Dual Pentium III 933 MHz) 上的 Windows XP 突然崩溃, 无法启动, 无奈之下进入 dual-boot 的 Windows 2000, 结果发现 Windows XP 所在的盘已无法读取 (试了几个从网上下载的恢复数据的软件也无济于事)。 此次最大的损失是女儿 2004 年 1-6 月的照片, 除了十几张最好的曾在其它机器上留了备份外, 其余几百张全部丢失。

2004.8.27 星期五

下午在从公司回家的地铁上读完了 Isaac Asimov 的《Foundation》、《Foundation and Empire》及《Second Foundation》三部曲。 这是科幻小说中最著名的系列之一。

我一直觉得科幻小说有 “大科幻” 与 “小科幻” 之分。 “小科幻” 是现实小说配上一些科幻元素, 比如几个机器人, 一些略带未来色彩的仪器设备等, 我很喜欢的叶永烈科幻侦破小说就属于这一类。 而 “大科幻” 则具有真正宏大的科幻背景, 是完整 “虚拟环境” 下的作品, 是科幻小说的极致。 Asimov 的 《Foundation》 系列正是此类作品中的杰作。

2004.9.6 星期一

今天和珊珊、 女儿及几位朋友去了长岛的 Jones Beach。

看了 Roman U. Sexl 和 Helmuth K. Urbantke 的《Relativity, Groups, Particles》才发觉原来 ∂μAμ=0 是 Lorenz condition, 而不是 Lorentz condition! 查了一下, 原来它是由丹麦物理学家 Ludwig Lorenz 于 1867 年提出的, 而不是荷兰物理学家 Henrik Anton Lorentz 提出的。 这一点在文献中很普遍地被弄错了 (Landau & Lifshitz 的《The Classical Theory of Fields》就是一个例子)。

2004.9.27 星期一

今天读到了一篇特别有欠思考的文章, 声称 Dirac 场的能量动量张量是反对称的 (如果这样的话能量 T00 就恒为零了)。 不过它重新引起了我对能量动量张量对称性的思考。

由 Noether 定理给出的能量动量张量是不对称的, 但角动量守恒及广义相对论都要求能量动量张量对称。 我查了一下家里的几本书, 发现所给出的 Dirac 场的能量动量张量都是直接来源于 Noether 定理, 从而并不对称 (当然也绝非反对称)。 其中只有 C. Itzykson 和 J. B. Zuber 的书特意提到结果的不对称性。 但接下去 C. Itzykson 和 J. B. Zuber 并没有对之进行对称化, 而是直接证明角动量守恒。 由于能量动量张量的对称性通常被认为是角动量守恒的要求, 因此能直接证明角动量守恒也就不必再过问能量动量张量的对称性了。 但他们这一做法却也表明角动量守恒并不一定要求能量动量张量对称 (这一点我以前没有注意到)。 那么能量动量张量的对称性在物理学中究竟是什么地位呢? 除广义相对论外还有没有别的理由要求能量动量张量对称呢?

2004.9.29 星期三

H. I. Arcos, V. C. de Andrade 和 J. G. Pereira 在 “Torsion and Gravitation: A New View” (gr-qc/0403074) 中提到曲率与挠率是对引力场的等价描述方式。 用纯挠率 (即不含曲率) 来描述引力的理论被称为 Teleparallelism (或 Teleparallel gravity——这些术语有时也指既有曲率又有挠率的混合描述), 在其中引力不再几何化的, 而是以类似 Lorentz 力的方式出现 (后者与挠率相关)。 引力重新成为一种 “力” 是否会对广义相对论中棘手的能量问题提供一种解决方法呢? 可惜这篇文章的数学描述不够 self-contained, 以后有机会要找一篇系统性的文章看看。

2004.10.11 星期一

正在读 A. Poltorak 的 “On the Energy Problem in General Relativity”。 这篇文章简略评述了广义相对论中的一些能量动量张量 (或赝张量) 的定义及其问题。 我记得自己一直有一种想法 (但想不起是否作过纪录), 即广义相对论对引力的几何化处理有可能从根本上消除了引进引力场能量动量的必要性。 因为传统的 (即引力以外的) 能量动量守恒定律是在平直时空中的, 广义相对论对此的修正则体现在对时空概念的变动上 (即以 Tμν = 0 取代 Tμν = 0)。 这在概念上是自洽的, 似无必要通过引进引力场能量动量而把守恒定律写成平直时空形式 (Tμν + tμν) = 0。

不过话虽如此, 象弱场下的引力势能这样的概念若说在广义相对论中没有对应物终究难以令人满意, 这也许是人们研究引力场能量动量的起因。 但这只是说明广义相对论中的时空效应在弱场下也许可以用引力场的能量动量来等效地描述, 并不足以 justify 严格意义上的广义相对论能量动量概念的必要性。

2004.10.18 星期一

在上下班的地铁上又读完了一部小说: Isaac Asimov 的《Robots and Empire》。 这是 Asimov 的 robot series 的最后一部。 如我在 8 月 27 日提到的, Asimov 的科幻系列是 “大科幻” 的经典杰作。 在这部作品中, Asimov 为 Empire 系列中地球成为银河帝国中一段被湮没的历史的原因作了铺垫, 真正的大手笔!

读了 Foundation Trilogy、《Robots and Empire》以及以前在国内读过的《Pebble in the Sky》, 发现 Asimov 的这些著名系列小说有这样的特点: 1. 背景极为恢宏, 但鲜有大规模作战之类的描述, 故事都集中在少数几位具体人物身上; 2. 常常出现 telepathy 及 mind control, 并且起着关键作用。 在 Foundation Trilogy 中具有 mind control 能力的 Mule 几乎以一人之力击败了 Foundation (当然最后还是被 Second Foundation 所击败——但后者同样具有 mind control 的能力)。

2004.11.9 星期二

从杭州探亲 (10 月 30 日——11 月 9 日) 回来。

2004.11.23 星期二

在地铁上读完了 Isaac Asimov 的《The End of Eternity》。 这部书虽不属于 Asimov 的几个主要系列, 但与那些系列有着微妙的关系。

2004.11.27 星期六

这些天开始读 Arthur I. Miller 的《Albert Einstein's Special Theory of Relativity》。 以狭义相对论的发展为主题的文献很多, 不过有深度的多数是 “攻其一点, 不及其余”, 相对全面的又大都是科普层次的文字叙述。 Miller 的书是兼有二者之长的少数之作。

Miller 的叙述从 1890 年 Hertz 对动体电动力学的研究开始。 Hertz 已经提出了绝对运动 (即相对于以太的运动) 对电磁过程没有影响的观点, 和狭义相对论完全一致, 但从他给出的动体电动力学方程组来看, 他的研究有两个极大的局限性:

  1. 他是在 Galilei 变换下研究动体电动力学方程组的形式。
  2. 他虽然写下了运动参照系下的方程组, 却没有通过要求方程组的形式不变来试图得到电磁场量在不同参照系下的变换规律 (当然, 由于他用的是 Galilei 变换, 即使他这么做了, 也得不到狭义相对论, 但或许可以使他注意到把 Galilei 变换用到电动力学中会出现的问题)。

2004.12.2 星期四

看了一部分 J. Garcìa-Bellido 的 “The Paradigm of Inflation” (hep-ph/0406191)。 这篇文章对 inflation 的各个方面都做了非常不错的介绍, 只可惜完全没有数学。

2004.12.3 星期五

继续读 Arthur I. Miller 的《Albert Einstein's Special Theory of Relativity》。 Lorentz 在 1892 及 1895 年的基本思路是对电动力学中的波动方程进行 Galilei 变换, 以得到相对于以太作运动的参照系中的方程, 然后引进一个附加变换以使后者具有波动方程的形式。 这个附加变换与原 Galilei 变换叠加的结果类似于后来 (1904 年) 的 Lorentz 变换, 但不全同, 因为原 Galilei 变换中没有对时间的变换, 从而在用链式法则进行时空求导时存在先天不足。 Lorentz 在那些论文中得到的波动方程不具有光速不变性, 相对于以太运动的参照系中的波速为 c(1 — v2/c2)1/2。 不过 Lorentz 似乎也没把这些变换当成严格变换来对待, 只是用其展开式来分析相对于以太的运动对电磁及光学现象在 v/c 及 v2/c2 量级上的影响。

2004.12.12 星期日

两天前在主页上开设了聊天室,昨天几位网友在那里讨论了量子测量问题, 其中部分讨论混淆了 unitarity 与概率守恒。 这两者在纯态下没什么差别, 但在象量子测量过程那样可以把纯态转变成混合态的过程中则不然。 这时概率仍然守恒, 但过程不再是 unitary evolution。

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